Lernvideo · 7:49 Minuten · Mathe, Klasse 8 bis 12
Stell dir vor: 40 Ziehungen lang kam beim Lotto die 13 nicht. Dein Onkel sagt: Jetzt ist sie fällig. Stimmt das? Du rechnest die Chance aus, siehst die Serie im Baum wachsen und in einer Simulation mit 10.000 Ziehungen, was das Gesetz der großen Zahlen wirklich sagt. Und du lernst, wann die Vergangenheit doch zählt.
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Prüffrage bei der Urne: Kommen die gezogenen Kugeln zurück? Wenn ja und es wird neu gemischt, bleibt die Chance gleich. Wenn nein, rechnest du mit dem, was noch drin ist.
| Ziehungen insgesamt | Treffer im Schnitt | Anteil |
|---|---|---|
| 40 (die Lücke) | 0 | 0 % |
| 140 | 12,2 | 8,75 % |
| 1.040 | 122,4 | 11,8 % |
| 4.040 | 489,8 | 12,1 % |
Durchschnittsrechnung: Nach den 40 leeren Ziehungen läuft alles im Schnitt normal weiter. In echt schwankt das. In unserer Simulation lag die 13 nach 10.000 Ziehungen sogar 30,5 Treffer über dem Durchschnitt, ihr Anteil lag mit 12,55 % trotzdem nah dran.
Falle 1: vorher und nachher. (43/49) hoch 40 ist die Chance für die ganze Serie vor dem Start, nicht die Chance für die nächste Ziehung.
Falle 2: „mindestens einmal“ durch Malnehmen. 40 · 6/49 ergäbe über 100 %. Richtig ist das Gegenereignis: 1 − (43/49) hoch 40.
Falle 3: mit und ohne Zurücklegen. Zwischen den Ziehungen kommen alle Kugeln zurück. Innerhalb einer Ziehung bleiben sie draußen, dort ändert sich die Chance.
Nein. Nach jeder Ziehung kommen alle Kugeln zurück, frühere Ziehungen ändern die Chance für die nächste nicht. Die Chance für eine bestimmte Zahl bleibt 6/49, rund 12,2 Prozent. Eine lange Serie war vorher unwahrscheinlich, aber sie macht die nächste Ziehung nicht anders.
Denk dir alle 49 Kugeln in zufälliger Reihenfolge, die ersten 6 werden gezogen. Für die 13 ist jeder der 49 Plätze gleich wahrscheinlich, 6 davon sind günstig. Also 6/49, rund 12,2 Prozent je Ziehung.
Bei unabhängigen Wiederholungen unter gleichen Bedingungen nähert sich der Anteil, also die relative Häufigkeit, auf lange Sicht der Wahrscheinlichkeit, nicht gleichmäßig, sondern mit Schwankungen. Es sagt nicht, dass ein Rückstand aufgeholt werden muss. Der Abstand in Treffern kann sogar wachsen, obwohl der Anteil nahe an der Wahrscheinlichkeit liegt.
Der Irrtum, ein zufälliges Ergebnis werde wahrscheinlicher, weil es länger nicht vorkam. Überliefert ist ein Abend 1913 in Monte Carlo: Die Roulettekugel fiel 26-mal hintereinander auf Schwarz, viele setzten auf Rot. Die Chance für Rot blieb bei jedem Dreh dieselbe.
Mit dem Gegenereignis: 1 minus „keinmal“. Mindestens einmal die 13 in 40 Ziehungen, von vorne gerechnet: 1 − (43/49) hoch 40, rund 99,5 Prozent. Nicht 40 · 6/49, das ergäbe über 100 Prozent. Nach einer Lücke beginnt die Rechnung für die kommenden Ziehungen neu.
Wenn gezogene Kugeln oder Karten draußen bleiben, das heißt Ziehen ohne Zurücklegen. Innerhalb einer Lottoziehung kommt die 13 als erste Kugel mit 1/49. War sie unter den ersten fünf nicht dabei, sind es für die sechste 1/44.
Lernvideo. Die Geschichte ist erfunden, die Simulation lief mit festem Startwert am Computer. Lotto ist hier ein Rechenbeispiel, kein Tipp. Mitspielen darf man erst ab 18. Hilfe bei Glücksspielproblemen, kostenfrei und anonym: Telefon 0800 1 37 27 00 (BIÖG), check-dein-spiel.de. Stimme, Musik und Bilder sind KI-erzeugt. Idee, Konzept und Redaktion: Menschlich.
Vierzig Mal keine Dreizehn, wie auffällig! Trommel dreht Runden. Ist sie jetzt fällig?
Stell dir vor: Vierzig Ziehungen lang kam beim Lotto die Dreizehn nicht. Das sind gut viereinhalb Monate.
Am Sonntag sagt dein Onkel beim Kaffee: Jetzt ist sie fällig. Jetzt muss sie kommen.
Klingt logisch, oder? Irgendwann muss sich das doch ausgleichen.
Natürlich. Die Kugel führt in der Trommel ja auch einen kleinen Kalender.
Tut sie nicht. Die Pause macht die Dreizehn kein bisschen wahrscheinlicher. Warum nicht, klären wir jetzt in drei Schritten: wie groß die Chance wirklich ist, was das Gesetz der großen Zahlen tatsächlich sagt, und wann die Vergangenheit doch zählt.
Sechs von neunundvierzig!
Also, erste Frage: Wie groß ist die Chance für die Dreizehn in einer einzigen Ziehung?
Denk dir alle neunundvierzig Kugeln in einer zufälligen Reihenfolge. Die ersten sechs werden gezogen. Für die Dreizehn ist jeder Platz gleich wahrscheinlich.
Günstige Plätze durch mögliche Plätze: sechs von neunundvierzig. Das sind rund zwölf Komma zwei Prozent.
Im Schnitt kommt sie also etwa alle acht Ziehungen. Und jetzt wird es gefährlich: Sind vierzig Ziehungen ohne sie dann nicht längst überfällig?
Nach jeder Ziehung kommen alle Kugeln zurück in die Trommel. Vor Ziehung einundvierzig liegen also dieselben neunundvierzig Kugeln drin wie vor Ziehung eins.
Keine Kugel ist schwerer geworden. Keine steht auf einer Warteliste. Die Chance bleibt also, wo sie war: sechs von neunundvierzig, rund zwölf Komma zwei Prozent.
Bildlich gesagt: Die Kugel hat kein Gedächtnis. In der Mathematik heißt das: Die Ziehungen sind unabhängig.
Aber vierzig Mal hintereinander nicht, das ist doch extrem selten, oder?
Stimmt. Von vorne gerechnet ist das wirklich selten. Der Denkfehler kommt erst danach. Rechnen wir: Keine Dreizehn in einer Ziehung ist das Gegenereignis, dreiundvierzig von neunundvierzig, knapp achtundachtzig Prozent.
Zweimal hintereinander? Multiplizieren, das ist die Pfadregel. Dann noch siebenundsiebzig Prozent. Dreimal: achtundsechzig. Vierzigmal: nur noch gut ein halbes Prozent.
Vor dem Start war diese Serie also sehr unwahrscheinlich. Aber sie ist schon passiert. Für die nächste Ziehung zählt jetzt nur noch die nächste Ziehung: rund zwölf Komma zwei Prozent.
Dieser Denkfehler hat einen Namen: Spielerfehlschluss. Neunzehnhundertdreizehn fiel in Monte Carlo die Roulettekugel, so wird es überliefert, sechsundzwanzig Mal hintereinander auf Schwarz. Viele setzten auf Rot, weil Rot doch dran sein musste. Die Chance für Rot blieb bei jedem Dreh dieselbe. Das Kasino war begeistert.
Große Zahlen!
Aber es gibt doch das Gesetz der großen Zahlen. Gleicht sich dann nicht doch alles aus?
Schauen wir nach: zehntausend Ziehungen, am Computer simuliert. Die Linie zeigt die relative Häufigkeit der Dreizehn, also Treffer geteilt durch Ziehungen.
Am Anfang springt sie wild herum. Nach hundert Ziehungen steht sie bei achtzehn Prozent, nach tausend bei vierzehn, nach zehntausend bei gut zwölfeinhalb. Und mittendrin fehlte die Dreizehn sogar einmal achtundfünfzig Ziehungen lang. Ganz ohne Skandal.
Das ist das Gesetz der großen Zahlen: Bei unabhängigen Wiederholungen unter gleichen Bedingungen nähert sich der Anteil auf lange Sicht der Wahrscheinlichkeit, mit Schwankungen. Von Aufholen steht da kein Wort.
Wie soll das ohne Aufholen gehen? In vierzig Ziehungen hätten wir im Schnitt rund fünf Treffer erwartet, gekommen ist keiner. Rechnen wir jetzt mit dem Durchschnitt weiter.
Dann liegt der Anteil nach hundert weiteren Ziehungen im Schnitt bei knapp neun Prozent. Nach tausend weiteren bei fast zwölf. Nach viertausend weiteren bei rund zwölf Komma eins.
Die rund fünf Treffer fehlen in dieser Rechnung immer noch. Sie fallen nur nicht mehr auf. Der Rückstand wird nicht aufgeholt, im Anteil wird er verdünnt. Wie ein Tropfen Sirup in der Badewanne: noch drin, du schmeckst ihn nur nicht mehr.
Und in echt? Da kann der Abstand sogar wachsen. In unserer Simulation lag die Dreizehn am Ende rund dreißig Treffer über dem Durchschnitt. Ihr Anteil lag trotzdem nah dran.
Derselbe Fehler funktioniert auch andersherum. Die Sieben kam zuletzt ständig. Ist sie jetzt heiß? Nein: rund zwölf Komma zwei Prozent, wie jede andere Zahl.
Und eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs? Sieht gefälscht aus, oder? Diese Kombination ist genauso wahrscheinlich wie jede andere: eins zu rund vierzehn Millionen, ohne Superzahl. Mitspielen darf man übrigens erst ab achtzehn. Unser Kopf sucht Muster. Die Kugeln nicht.
Ohne Zurücklegen!
Gibt es denn gar keinen Fall, in dem die Vergangenheit zählt? Doch: zum Beispiel, wenn die gezogene Kugel draußen bleibt.
Schau in eine einzige Ziehung. Als erste Kugel kommt die Dreizehn mit eins zu neunundvierzig, rund zwei Prozent. War sie unter den ersten fünf nicht dabei, sind es für die sechste eins zu vierundvierzig, knapp zwei Komma drei Prozent. Das ist Ziehen ohne Zurücklegen.
Bei Karten genauso: Gezogene Karten bleiben draußen, und mit ihnen ändert sich die Chance für die nächste.
Deine Prüffrage lautet also nicht: Was kam zuletzt? Sondern: Kommen die gezogenen Kugeln zurück? Wenn ja, und es wird neu gemischt, bleibt die Chance gleich.
Wenn nein, rechnest du mit dem, was noch drin ist.
Was gehört also auf den Spickzettel? Erstens: Sind alle Fälle gleich wahrscheinlich: günstige durch mögliche. Zweitens: Bei unabhängigen Ziehungen ändern frühere Ergebnisse die Chance für die nächste nicht. Drittens: Eine ganze Serie rechnest du von vorne, mit der Pfadregel. Viertens: Das Gesetz der großen Zahlen gilt für den Anteil. Ein Rückstand muss nicht aufgeholt werden.
Aufgaben mit Sofort-Korrektur, eine Lotto-Simulation ohne Geldeinsatz und ein Übungsblatt findest du unter dem Video.
Und am nächsten Sonntag? Die Dreizehn ist nicht fällig. Sie kommt zufällig, mit rund zwölf Komma zwei Prozent, wie immer. Dein Onkel bleibt trotzdem dabei. Die Kugel nimmt es ihm nicht übel. Sie merkt sich nämlich nichts.
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Kugeln sind ohne Gedächtnis und Plan: Zwölf Komma zwei, und es fängt wieder an. Aufholen muss keine, der Anteil pendelt sich ein. Nicht fällig. Zufällig. Nur manchmal auffällig.
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